Depende de lo que quiere decir con “dirección web” y “teléfono”.
El primer dispositivo portátil listo para Internet, según afirma Nokia, fue el 9000 Communicator de 1996, [0] pero no puedo estar seguro de que podríamos ser un verdadero dispositivo de Internet, ni un teléfono. Tenía un navegador web, pero se centró principalmente en el trabajo y el correo electrónico. Y tenía la capacidad de realizar llamadas, pero con un peso de 253 g era voluminoso y pesado incluso para 1996.
(Es el de la izquierda, el de la derecha es un Nokia E7).
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Los primeros dispositivos BlackBerry de 1995 eran solo buscapersonas bidireccionales, por lo que este Nokia era una gran cosa para esa época. 
Si acepta el protocolo WAP como “web”, entonces el Nokia 7110 [0] de 1999 podría ser su chico. ¿Alguna vez viste The Matrix? Entonces ya conoces al bebé. Y sí, este es un teléfono sin ninguna duda. 
Sin embargo, WAP no fue exactamente un éxito. Yo, por mi parte, no lo llamaría acceso a Internet, era más como una puerta de enlace. Recuerdo que fue muy lento, costoso y prácticamente inútil en términos de los servicios disponibles. Sí, se podía ver el pronóstico del tiempo después de 10 minutos de hacer clic y desplazarse, pero era más rápido y menos costoso buscar un periódico o usar el teletexto en un televisor. Se le ha llamado “pésimo”, y con una razón. [1]
Su principal competidor, i-mode, [2] vino de Japón y ha sido grande allí. Todavía está en uso, sorprendentemente. i-mode tenía más de 50 millones de suscriptores solo en Japón en 2011, y sigue ganando mucho dinero. [2.1] Quizás tenga que ver con el hecho de que la mayoría de los japoneses han estado utilizando estas tecnologías desde hace mucho tiempo … Aún así, este éxito no era exportable, o eso creía el NY Times en 2009. [3] Sin embargo, NTT DoCoMo intentó (y tuvo éxito) en otorgar licencias del servicio a muchos operadores europeos. [4.1,4.2] Aquellos, a su vez, por lo general intentaron obtener la mayor cantidad de dinero posible de sus suscriptores al fijar tarifas realmente altas para el servicio, lo que causó fracasará después de algunos años.
i-mode se lanzó por primera vez en 1999 y el primer teléfono con pantalla en color se lanzó alrededor de diciembre de 1999. [5] No pude encontrar ninguna lista para los primeros teléfonos, pero obtuve un video teaser de NTT.
Los primeros teléfonos i-mode tenían pantallas realmente pequeñas para los estándares actuales, que van desde 96 × 120 a 133 × 126 [6], por lo que tampoco estoy seguro de que uno pueda llamarlos navegadores de Internet. Sin embargo, fueron un gran éxito y abrieron un mercado para el resto del mundo.
[0] Nokia 9000 Communicator en Wikipedia
[0] Nokia 7110 en Wikipedia
[1] ¿Quién ganará en la batalla por Internet móvil ?: The WIRELESS WARS en el NY Times
[2] i-mode en Wikipedia
[2.1] En la batalla con los teléfonos inteligentes, ¿i-mode está muerto? en el Japan Times.
[3] ¿Por qué los teléfonos inteligentes de Japón no se han vuelto globales en el New York Times?
[4] http://www.nytimes.com/2002/03/2…, teléfono NEC N411i i-mode
[5] Historial de i-mode | Servicios | NTT DOCOMO Global
[6] Guía del desarrollador de I-Mode en Google Books.
