Bueno, no puedo ayudarte mucho sin saber un poco más sobre tu teléfono:
a) ¿Está habilitada la depuración de USB en su teléfono? En caso afirmativo, es posible recuperar cualquier archivo de su teléfono independientemente de la condición de su pantalla táctil, a través de una herramienta llamada ADB . Si no, entonces
b) ¿cómo se conecta su dispositivo cuando lo conecta a una computadora a través de USB? Si se conecta como MTP (permite la transferencia de archivos, debería aparecer una carpeta con el nombre de su teléfono en el directorio raíz de su computadora). En caso afirmativo, es sencillo navegar a la carpeta donde almacenó su archivo y luego copiarlo a su computadora. ADVERTENCIA: Algunas versiones de Android no permiten que su PC acceda al almacenamiento de su teléfono sin desbloquear el teléfono, así que tenga esto en cuenta.
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c) Finalmente, ¿el archivo está almacenado en una tarjeta SD externa ? Si es así, apague su teléfono, desconecte la tarjeta SD y luego inserte la tarjeta SD en su computadora usando un lector de tarjetas SD (algunas computadoras las tienen incorporadas). Después de eso, simplemente copie el archivo requerido a su computadora.
Si la respuesta a a) es sí, entonces aquí hay una guía para copiar y pegar archivos usando ADB: Personalización de Android: cómo transferir archivos usando comandos ADB push y pull
Si la respuesta a b) es sí y su teléfono le permite acceder al almacenamiento sin desbloquear, entonces aquí hay una guía para copiar y pegar archivos usando la forma más convencional: Transfiera archivos entre su computadora y dispositivo Android
Si la respuesta a a), b) yc) es negativa, entonces me temo que no hay otra alternativa (al menos no que yo sepa) que no sea reemplazar su pantalla.